Задачи заочного тура

Перед Вами задачи по математике заочного тура всероссийской математической олимпиады.

Не смущайтесь, если Вам не удалось решить все задачи, или Вы сомневаетесь в правильности их решения. Присылайте! Жюри по результатом проверки определит тех, кто приглашается на областной тур предметной олимпиады по математике, и может случиться, что удачное решение всего одной задачи обеспечит Вам приглашение.

Требования к оформлению.

Работа должна быть выполнена в отдельной тетради, аккуратно и разборчиво. Условия задач переписывать не обязательно, но необходимо проставлять номер задачи, решение которой Вы собираетесь привести. Порядок решения задач произвольный. Разрешается (и даже приветствуется) решение задач более старших классов, нежели Ваш.

Все факты и утверждения, на которые Вы опираетесь в своём решении должны быть математически строго обоснованы, однако доказательства фактов и теорем, проходимых в стандартном курсе средней школы приводить не надо, достаточно простого упоминания их формулировки. Чертежи в геометрических задачах не являются обязательными, но для наглядности желательно их приводить (при этом чертежи можно делать пастой и "от руки", без использования чертежных приборов). Следует только помнить, что в решении ссылка на чертеж недопустима - любой используемый Вами факт должен быть доказан без использования чертежа.

Решения задач заочного тура присылать по адресу:

620219, ГСП - 384, г.Екатеринбург, ул. С.Ковалевской 16, Институт математики и механики УрО РАН, Нохрину Сергею Эрнестовичу.

На конверте указать: олимпиада по математике, заочный тур.

В работе должны быть указаны:

1) Фамилия, имя, отчество решавшего;

2) номер класса и школы, а также адрес школы (с индексом);

3) полный домашний адрес (с индексом);

4) домашний телефон;

5) фамилию, имя, отчество учителя математики.

Срок присылки работ (по почтовому штемпелю) - не позднее 15 декабря 2000 года.

7-oй класс

7.1. Известно, что дробь (a-b)/(a+b) сократима (a и b - целые числа).

а) Может ли быть несократима дробь ^a/_b?

b) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что числа a и b разной чётности.

7.2. Про натуральное число x сделаны следующие утверждения: 1) 2x > 70; 2) x < 100; 3) 3x > 25; 4) x <= 10; 5) x > 5. Известно, что из них только три верных, а два неверных. Чему равно x?

7.3. Существует ли

а) шестизвенная замкнутая ломаная, каждое звено которой пересекается ровно с одним другим? (Считаем, что два звена пересекаются, если они имеют общую точку, не являющуюся вершиной ни одного из них).

б) семизвенная замкнутая ломаная с таким свойством?

7.4. Пусть p - простое число, отличное от 2 и 5. Докажите, что число p⁴-1 делится на 10.

8-oй класс

8.1. Докажите, что для всех x из отрезка [0;1] выполнено неравенство: (1-x)¹⁰+(1+x)¹⁰ <= 1024.

8.2. Можно ли из 13 кирпичей размера 2×1×1 сложить куб размера 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре?

8.3. В равностороннем треугольнике ABC на сторонах AB и AC отмечены точки F и K соответственно так, что BF = AK. Отрезки BK и CF пересекаются в точке O. Докажите, что угол KOC = 60^o.

8.4. Найдите все такие целые числа a и b, сумма которых 518, а отношение их наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю равно 13.

9-ый класс

9.1. Изобразите на координатной плоскости XOY множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

((-1)^[x] - (-1)^[y])² >= 2 (Здесь под [x] понимается целая часть числа x, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее x).

9.2. В пространстве висит куб из непрозрачного материала, на каждой из вершин которого сидит по мухе. Можно ли расположить в пространстве фонарь так, чтобы все мухи были освещены. (И фонарь, и мухи полагаются точками).

9.3. Можно ли в квадрат со стороной 1см. поместить некоторое количество непересекающихся кругов так, чтобы сумма их радиусов была больше 1м?

9.4. Пусть N - натуральное число. K - число его делителей. Докажите, что K² < 4N.

10-ый класс

10.1. Решите уравнение:

x2+ 9x2 |x+3|2 = 7.

10.2. В соревнованиях по фигурному катанию участвовало 10 фигуристов. Каждый из трёх судивших соревнования арбитров присвоил каждому фигуристу место от первого до десятого (разным фигуристам - разные места). Победителем признавался фигурист, у которого сумма присвоенных ему мест наименьшая. Каким наибольшим числом может являться эта сумма у единоличного победителя соревнований?

10.3. Катет AB прямоугольного треугольника ABC больше его другого катета BC. На стороне AB отмечена точка D так, что AD = CB, а на стороне BC (или на её продолжении за точку B) - точка E так, что CE = BD. Докажите, что угол между прямыми EA и CD равен 45^o.

10.4. Решите в целых числах уравнение: y² = x²+x+1.

11-ый класс

11.1. Существуют ли такие числа a и b, что для всех x из отрезка [0;2] выполнено неравенство: |x²-ax-b| < = ¹/₂?

11.2. На столе лежат карточки с числами 1, 2, 3, ..., 9 (каждая карточка в одном экземпляре). Петя и Коля по очереди (Петя первым) берут себе со стола по одной из карточек. Выигрывает тот, у кого раньше наберётся набор из трёх карточек, сумма чисел на которых в точности равна 15. Кто из мальчиков может гарантировать себе выигрыш?

11.3. В окружности проведены два перпендикулярных диаметра AB и CD. На дуге BD взята точка X. Отрезки AX и CX пересекают отрезки CD и AB в точках E и F соответственно. Известно, что число CE/ED рационально. Докажите, что число AF/FB также рационально.

11.4. Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 125? Приведите наименьшую пару таких чисел, или докажите, что таких чисел нет.